2017年福建成考专升本高数(二)真题及答案

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　　2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试

　　高等数学(二)

　　第I卷(选择题，共40分)

　　一、选择题(1〜10小题。每小题4分，共40分。在每小题给出的四

　　个选项中。只有一项是符合题目要求的)

　　1 .当x -0时，下列各无穷小量中与x2等价的是()

　　A. x sin2 x B. x cos2 x C. x sin x D. x cos x

　　2 .下列函数中，在x=0处不可导的是( )

　　A. y = Vx5 B. y = 5x3 C. y = sin x D. y = x2

　　3 .函数f(x) = In(x2 + 2x + 2)的单调递减区间是( )

　　A. (_*—1) B. (-1, 0) C. (0, 1) D. (1,+⑹

　　4 .曲线y = x3 -3x2 -1的凸区间是()

　　A.(-*1) B.(-叱-2) C. (1,+w) D.(2,+w)

　　5 .曲线y = e2x-4x在点(0,1)处的切线方程是()

　　A. 2x - y -1 = 0 B. 2x + y -1 = 0

　　C. 2x - y +1 = 0 D. 2x + y +1 = 0

　　A.二 + C B.-二 + C

　　Jx Jx

　　c. 2而+c d.-々E+c

　　5 5

　　7.12xdx =()

　　12

　　C. * D. *

　　8.设二元函数z = ex2+y,则下列各式中正确的是(

　　A.2=2xex2 dxB.2=ey Sy

　　C.2=ex2+y dxD.2=ex2+y Sy

　　9.二元函数z = x2 + y2-3x-2y的驻点坐标是()

　　A(-1.-1)B-1-封

　　C.12D.【3」)

　　10.甲、乙两人各自独立射击1次，甲射中目标的概率为0. 8,乙射中

　　目标的概率为0. 9,则至少有一人射中目标的概率为( )

　　A. 0. 98 B. 0. 9 C. 0. 8 D. 0. 72

　　第II卷(非选择题，共110分)

　　二、填空题：11〜20小题，每小题4分，共40分。将答案填写在答 题卡相应题号后。

　　11. lim3 x： + x2 - 2 =

　　x-1 4 x2 + 5 x - 8

　　12. lim -——r = x-0 ln(3x +1)

　　13. 曲线y =(x-tL的铅直渐近线方程是=

　　14. 设函数 f (x ) = sin (1 - x),则 f “(1) =

　　冗

　　t 广 F2 cos3xdx =

　　15. J°

　　>+s 1

　　—rdx 二

　　17 .若tanx是f(x)的一个原函数，则Jf(x比=

　　18 .由曲线丁 = x3,直线x = 1, x轴围成的平面有界区域的面积为

　　19 .设二元函数z = x4 sin y， 则dz r叫=

　　匕J

　　20 .设y = y(x)是由方程《了 = x + y所确定的隐函数，则d =

　　dx

　　三、解答题：21〜28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤，并

　　将其写在答题卡相应题号后

　　22 .已知函数 f (x)= cos(2x +1),求 f “(0)

　　xarctan xdx

　　25 .设离散型随机变量X的概率分布为

　　X012

　　P0.30.40.3

　　求X的数学期望E(X)及方差D(X)

　　26 .已知函数f(x)= xJ4x +1

　　(1)求f(x)的单调区间和极值

　　(2)求曲线丁 = f (x)的凹凸区间

　　27 .记曲线丁 =1 x2 +1与直线> = 2 ,所围成的平面图形为D (如图中阴 影部分所示)。

　　(1)求D的面积S;

　　(2)求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V

　　28 .设z --,其中 u - x2y , v = x + y2,求出，生及dz v dx dy

　　2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试

　　高等数学(二)试题答案解析

　　1.【答案】c

　　【解析】无穷小量等价，那么他们比值的极限为1

　　2

　　因为lim = lim = 1，所以x sin x与x2等价

　　x-0 x sin x x-0 sin x

　　2 .【答案】B

　　3

　　【解析】B选项，在x = 0处lim f (x)- f(0)= lim匚=lim二=+w，导数为 x—0 x xf0 x x-0 2

　　x5

　　无穷大，所以J =k在x = 0不可导

　　3 .【答案】A 【解析】可导函数单调递减区间导数值小于0，f (x) = ln(x2 + 2x + 2)， f #39;( x“言三=3 lt;0，解出x lt; -1，所以单调递减区间为

　　4 .【答案】A 【解析】凸函数的二阶导数小于0，已知J = x3 -3x2 -1，j，= 3x2 -6x，

　　J“ = 6x-6，令j“ = 6x-6lt;0，解出xlt;1，所以函数凸区间为(-*1)

　　5 .【答案】B 【解析】函数在某点的切线的斜率是该点的导数，斜率

　　k = J1 工=0= (2e2x - 4)工W = -2，所以切线方程为 2x + j -1 = 0

　　6 .【答案】B

　　_3_

　　Jx 2 dx

　　7 .【答案】C 【解析】f2xdx = 32xl0 =J

　　J0 ln2 । ln2

　　8 .【答案】D 【解析】” ex2，，则1:2M，，三二ex2，

　　9 .【答案】D

　　【解析】二元函数的驻点是一阶偏导数为0的点，即

　　10 .【答案】A 【解析】设甲射中为事件A，乙射中为事件B

　　解法一：至少一人射中那么就表示甲射中乙不射中，乙射中甲不射中，

　　甲乙都射中，即 P = P ] A B+ A B + AB [ = P [ A “ + P [ A B ] + P (AB)

　　=0.8 x(1 - 0,9)+(1 - 0.8)x 0.9 + 0,8 义 0,9 = 0,98

　　解法二：至少一人射中的否定是甲、乙没有一个射中，即

　　P = 1 - P ] A B卜 1 -(1 - 0,8)x(1 - 0,9)= 1 - 0.02 = 0.98

　　11 .【答案】2

　　匚 T _ 3x4 + x2 -2 3 +1 -2 °

　　【解析】hm-^ = lim = 2

　　x-14 x2 + 5 x - 8 x-14 + 5 - 8

　　12 .【答案】1

　　3

　　【解析】当x-0，分子分母都为0，可以使用洛必达法则

　　1

　　1. x 3 1

　　lim —彳 ?二 lim --- 二一

　　x-0 ln(3 x +1) x-0 3 x +1 3

　　13 .【答案】x = 0

　　【解析】函数铅直渐近线可能出现在无穷处或者函数不连续处且极限

　　值为3当x — g时，lim /X + \洛必达法则lim 7^~r = 1w(» (排除) x—lt;-1)2 x—g 2(x -1) 2

　　当 x ― 1 时，lim /x + \ 洛必达法则U lim 7x_r =1 = g x—g(x -1)2 x—1 2( x -1) 2

　　14 .【答案】0

　　【解析】f lt; x )= cos(1 - x )(1 - x) = - cos(1 - x) , f ff(x) = sin (1 - x)(1 - x)= -sin (1 - x),

　　则 f “(1) = 0

　　15 .【答案】-1

　　3

　　7T 、九 #39;无#39;

　　【解析】f2 cos 3 xdx = _ f^cos3 xd(3 x) = — sin3x(2 =——

　　J。 3 J° 3 0 3

　　16 .【答案】1

　　【解析】「^ydx = lim 广x-2dx = lim-x-1 b = lim-[--1^ = 1

　　J-1 x b—+g J1 b—+g । b—+g ( b J

　　17 .【答案】tan x + C

　　【解析】若tanx是f (x)的一个原函数，则f f (xdx = tanx + C

　　18 .【答案】1

　　4

　　【解析】所围成区域x取值范围是(0,1), S =「x3dx =1

　　04

　　19 .【答案】2桓dx专dy

　　【解析】 dz = %dx + 生dy，生=4x3 sin y，乞=x4 cosy ,

　　dx dy dx dy

　　20 .【答案】4

　　e -1

　　【解析】方程ey = x+y两端同时对x求导edy=1+d,解出dy=J

　　dx dx dx e -1

　　21 .【答案】 解法一：当x告0时，分子分母都为零，可以使用洛必达法则

　　「 x sin x 「 sin x + x cos x - cos x + cos x - x sin x 八

　　lim = lim = lim = 2

　　x-01 - cos x x-0 sin x x-0 cos x

　　，一、r 一一 一 1 v cin v v

　　解法二： 当 x — 0 时，cos x = 1 ——x2，sin x = x，lim = lim^ = 2

　　2 x-01 - cos x x-01 x2

　　2

　　22 .【答案】

　　f (x)= cos(2x +1)，f#39;(x) = -2sin(2x +1)，f “(x) = -4cos(2x +1)，

　　f *(x) = 8 sin(2x +1)，「. f w(0) = 8sin1

　　23 .【答案】

　　j-^#39;『d，令 Vx = t，~)3/2dt = j~dt = j t ] I+#39;dt = j(7- 1dt + j;j~^dt

　　二 g Vx2 - Vx + ln(1 + Vx)+ C

　　24 .【答案】分部积分公式judv = uv- jvdu

　　f1 z / x2 ] x * , 11 1「12 〃 ， 、

　　jxarctanxdx = jarctanxdI arctanx^ -5j。x d(arctanx)

　　九 1「1 x2 + 1 - 1 7

　　= I ——z dx

　　8 2 J0 x2 +1

　　=--1 j1 dx -1

　　8 2 0 2 0 x2 + 1

　　-1 1 1 -

　　= 1— arctan x 0 =

　　8 2 2 10 4 2

　　25.【答案】

　　n

　　E (X ) = £ xipi = 0 x 0.3 + 1x 0.4 + 2 x 0.3 = 1 i=1

　　E(X2)= 0x0.3 + 1x 0.4 + 22 x0.3 = 1.6

　　dx = E (X2 )= E2 X = 1.6 -1 = 0.6

　　26.【答案】

　　(1)函数 f (x) = x4 -4x +1,则 f#39;(x) = 4x3 -4

　　令f 0，解出x >1，所以函数f (x)的单调递增区间为(1,+⑹ 函数在x = 1处取得极小值为f (1) = 1 - 4 +1 = -2

　　(2)f “(x ) = 12 x2，则f “(x )> 0，多以函数在R上为凹函数。

　　27.【答案】

　　(1)S = 2(0 2-f1 x2 + 1]dx = 2(“f-1 x2 + 3k = 2后

　　J0 L 12 2 川 J0 I 2 2 /

　　(2)V =兀，尸(j比=加J1(2y-1比=%(y2 - y)j = 9几

　　2 2 2 4

　　28.【答案】

　　d.z d.z d u d.z dv

　　——= 1 =

　　dx du d.x dv dx

　　dz dz du dz dv 1 2 x2 y x3 - x2 y2

　　= 1 = - x ; = -

　　dy du dy dv dy x + y 2

　　了 dz 了 dz 7 x2 y + 2 xy 7 x3 - x2 y2 7

　　dz =——dx + dy =I dx + ^ dy

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