2017年福建成考专升本高数(一)真题及答案

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　　2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试

　　高等数学(一)

　　一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求。

　　1 .当x仔0时，下列变量是无穷小量的为( )

　　A.二 B. 2x C. sin x D. ln(x + e)

　　2 . limfl + 2丫=( )

　　x-01 x )

　　A. e B. e-1 C. e2 D. e-2

　　3.若函数f (x ) = lt;2 e-X#39;X#39;0，在x=0处连续，则常数a=( )

　　a, x = 0

　　A. 0 B. 1 C. 1 D. 2

　　2

　　4 .设函数 f (x) = xInx，则 f，(e)=()

　　A.-1 B. 0 C. 1 D. 2

　　5 .函数f (x) = x3 -3x的极小值为( )

　　A.-2 B.0 C.2 D.4

　　6 .方程x2 + 2j2 + 322 = 1表示的二次曲面是()

　　A.圆锥面 B.旋转抛物面 C.球面 D.椭球面

　　7 .若[(2x + k比=1，则常数k =()

　　A.-2 B.-1 C.0 D.1

　　8 .设函数f(x)在[a㈤上连续且f(x)>0，则()

　　A. [ f (x~)dx > 0 B. [ f (x~)dx lt; 0

　　Ja a a

　　C. fbf(x妆=0 D. fbf(x法的符号无法确定

　　L aa

　　9.空间直线上1 =皿=三3的方向向量可取为( )

　　3 -1 2

　　A. (3, -1,2) B. (1, -2,3) C. (1, 1, -1) D. (1, -1, -1)

　　10 .一直a为常数，则幂级数上工()

　　A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性与a的取值有关

　　二、填空题：11〜20小题，每小题4分，共40分。将答案填写在答 题卡相应题号后。

　　11 . lim -x_=

　　x-2 sin (x - 2)

　　12 .曲线y =』的水平渐进方程为

　　2 x +1

　　13 .若函数 f (x)满足 f，(1) = 2 ,则limf (，-f (1)= x -1 x -1

　　14 .设函数 f (x )= x -1,则 f，(x ) =

　　x

　　冗

　　15 . J\ (sinx + cosx炫=

　　2

　　16 .「] 1 2 dx =

　　17 .一直曲线丁 = x2 + x-2的切线/斜率为3,则/的方程为.

　　18 .设二元函数2 = ln(x1 + y),则竺=

　　dx

　　19 .设f(x)为连续函数，则口xf(t问=

　　g nn

　　20 .幂级数2j的收敛半径为 M3“

　　三、解答题：21〜28题，共70分，接答应写出推理、演算步骤

　　21 .求lim匕等1

　　, x=1+t2,求 dy

　　y = 1 +13 dx

　　23.已知sin x是f (x)的一个原函数，求Jxf#39;[x灿

　　25 .设二元函数” x2yy + x-“1，求捻及焉

　　26 .计算二重积分J^jx2 + y2,dxdy ,其中区域D =卜,y)k2 + y2 lt; 4)

　　D

　　27 .求微分方程ydy = x1的通解 dx

　　28 .用铁皮做一个容积为V的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底

　　面直径时，所使用的铁皮面积最小

　　2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试

　　高等数学(一)试题答案解析

　　1 .【答案】c

　　【解析】lim sin x = sin 0 = 0

　　xf0

　　2 .【答案】C

　　【解析】lim[l + 2] =limfl + -Y = e1 x J x J

　　3 .【答案】B

　　【解析】因为函数/(x)在x = O处连续，则㈣/*)=㈣3尸=。=/(0)= 3

　　4 .【答案】D

　　【解析】因为/(x)= lnx + x(lnx) = lnx + 1 , 所以/(e) = Ine+ 1 = 2

　　5 .【答案】A

　　【解析】因为/G) = -3 ,令f#39;(x) = 0，得驻点看=-1,0 = 1，又/“(x) = 6x /ff(-l) = -6lt;0 , /ff(l)=6>0,所以/(x)在% =1处取得极小值，且极小值 /(1) = 1-3 = -2

　　6 .【答案】D

　　2 9

　　【解析】可将原方程化为丫2+宁+亍=1，所以原方程表示的是椭球面。

　　2 3

　　7 .【答案】C

　　【解析】j1(2x + k)dx = (x2 + kx^\=\ + k = \,所以后=0

　　8 .【答案】A

　　【解析】若在区间卜㈤上/(x)>0,则定积分的值为由曲线

　　J = f(x),直线x = a , x = b , y = 0所围成图形的面积，所以Jbf (x妆>0

　　9 .【答案】A

　　【解析】因为直线方程为七1 =皿=三3,所以其方向向量为(3, 3 -1 2

　　-1,2)

　　10 .【答案】B

　　[解析]n rs 时，un =(-1)力-^ 告 0。 £ uj = £(T)n-^ =£-^， n + a n=1 n=1 n + a “=1 n + a

　　因为£2- 1，而£ 1发散，所以£契2发散。由莱布尼茨判别法

　　13.【答案】1 【解析】f Q = limf(x)-f(1) = 2。

　　x r1 x -1

　　- f (x)-f(1).,

　　x -1 x + 1

　　14 .【答案】1+二 x2

　　/ 一、#39; 一

　　【解析】因为f(x) = x-1，f#39;(x) = x，-[“= 1 + 3 x I x J x

　　15 .【答案】2

　　tt tt n n n

　　【解析】J3Tl (sin x + cos x炫=J3Tl sin xdx + J3T cos xdx = 0 + 2j。cos xdx = 2sin x 02 = 2

　　2 2 2

　　16 .【答案】三

　　2

　　【解析】~^dx = arctan x| 0“=—

　　J0 1 + x2 |0 2

　　17 .【答案】3x-j-3 = 0

　　【解析】曲线上某一点的切线斜率为k = y#39; = 2x +1,因为该切线的斜率 为3,则k = 2x +1 = 3，x = 1，y|x=1 = 0，即切线过点(1,0)，所求切线 为 y = 3(x -1)， 即 3x - y - 3 = 0

　　18 .咯案】言

　　【解析】Z = ln(x2 + y)， ^z = (x ) = ：x dx x + y x + y

　　19 .【答案】f(x)

　　、#39;

　　【解析】(J;f(/族〕=f(x)

　　20 .【答案】3

　　【解析】p = lim嘎=lim鼻=1，故幂级数£二的收敛半径R」=3 n * an n * 3 n+1 3 士 3 n p

　　Q1 ・於电e - sin x-1 - e - cosx - e + sin x 1

　　21 . 【答案 】 lim = lim = lim =一

　　xf0 x x-0 2x x-0 2 2

　　dy

　　22 .【答案】@ = d = ± = 31

　　dx dx 21 2

　　dt

　　23 .【答案】因为sinx是f (x)的一个原函数，所以

　　J xf#39;(x 比=xf (x)-J f (x 炫=xf (x)- sin x + C

　　24 .【答案】设4 = t,则 x = t2,dx = 2tdt,0 lt; t lt; 2

　　=2fI1」£[ dt

　　=2t 0 TnQ + t)[ 0 ]

　　=2 x(2 - ln3)

　　=4 - 2ln3

　　25 .【答案】因为z = x1y2 + x-y +1,所以

　　2=2 x ° y -1 dy

　　—=2 xy2 +1 dx

　　于是由实际问题得，S存在最小值，即当当圆柱的高等于底

　　面直径时，所使用的铁皮面积最小

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