2019年福建成考专升本高数(一)真题及答案

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　　2019年成人高等学校专升本招生全国统一考试

　　高等数学(一)

　　一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，

　　只有一项是符合题目要求。

　　1.当 X . 0 时，X + X2 + x3 + x4 的 x为( )

　　A.等价无穷小B.2价无穷小C.3价无穷小D.4价无穷小

　　9 1-「1 2 丫 —

　　2 . lim I 1 +— I —

　　x-+入 x )

　　A. - e2 B. - e C. e D.廿

　　3 .设函数y — cos2x，则 y#39;-

　　A. y — 2sin2x B. y — -2 sin 2x C. y — sin 2x D. y — - sin 2x

　　4 .设函数 f (x)在[a㈤上连续,在(a,b)可导，f，(x)>0，f (a)f (b)lt;0，则 f (x)

　　在(a,b)零点的个数为( )

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　5 .设2x为f (x)的一个原函数，则f (x)=()

　　A. 0 B. 2 C. x2 D. x2 + C

　　6 .设函数 f (x) — arctanx，则 J f (x)dx —( )

　　A. - arctan x + C B. - J 2 + C C. arctan x + C D.】12 + C

　　7 .设 11 — Ji x2dx，12 — Ji x3dx，13 Ji x4dx，贝( )

　　A. 11 >I2 > I3 B. 12 >I3 > I1 C. 13 >I2 > I1 D. 11 >I3 > I2

　　8 .设函数 z = x2 ey，则号 I (10)-( )

　　sx ।

　　A. 0 B. 1 C. 1 D. 2

　　2

　　9 .平面x + 2y-32 + 4 - 0的一个法向量为( )

　　A.(1，-3,4) B.(1,2,4) C.(1,2，-3) D.(2，-3,4)

　　10 .微分方程j+ (j)3 + j4 = 0的阶数为( )

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　二、填空题：11〜20小题，每小题4分，共40分。将答案填写在答 题卡相应题号后。

　　tan 2x

　　11 . lim =

　　x-0 x

　　12 .若函数f (x) = 15x,xlt;0 ,在点x=0处连续，贝lja=

　　a,x > 0

　　13 .设函数j = e1x,则dy=

　　14 .函数f (x)= x3 -12x的极小值点x=

　　15 . dx =

　　JTi-x?

　　16 . J xtan2 xdx =

　　17 .设函数z = x3 + j2, dz=

　　18 .设函数z = x arcsin j，

　　19 .幂级数£：=1 nxn的收敛半径为

　　20 .微分方程j#39; = 2x的通解y=

　　三、解答题：21〜28题，共70分，接答应写出推理、演算步骤

　　21 .若limsn上”=2 ,求k x-° x

　　22 .设函数y 二 sin(2x-1),求了

　　23 .设函数y二xlnx ,求了

　　(1 ) 24.计算J x3 +ex dx

　　25 .设函数2 = 1 -1,求Xx在+ J22 x y dx dy

　　26 .设D是由曲线x = 1 -y2与x轴、y轴，在第一象限围成的有界区域

　　如图所示，求：

　　(1)D的面积S

　　(2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V

　　27 .求微分方程y”- 5y，-6y = 0的通解

　　28 .计算二重积分I = J口x2 + 丁2/dy ,其中D是由曲线x2 + y2 = 1,y=x。

　　X轴在第一象限围成的有界区域

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　　高等数学(一)试题答案解析

　　1 .【答案】A

　　234

　　X xx-t^x X 1 - x + x + x + x 「 八 2 3、 1

　　【解析】lim = lim(1 + x + x + x ) = 1

　　x-0 x x

　　故x + x2 + x3 + x4是x的等价无穷小.

　　2 .【答案】D

　　〜…一 2 2 x«2 「 2 x 、

　　【解析】lim(1 + 2)x = lim(1 + 2)2 = lim(1 + 2)2 = e2

　　x T9 x x T9 x x T9 x

　　3 .【答案】B

　　【解析】 y#39; = (cos 2 x)#39; = — sin 2 x • (2 x)#39; = -2 sin 2 x.

　　4 .【答案】C

　　【解析】由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)上必有零点.且函数是单 调函数.故其在(a, b)上只有一个零点.

　　5 .【答案】B

　　【解析】由题可知 J f(x)dx = 2x + C,故f(x) = (J f (x)dx)#39; = (2x + C)#39; = 2

　　6 .【答案】C

　　【解析】J f lt; x炫 = f(x) + C = arctan x + C

　　7 .【答案】A

　　【解析】在区间(0.1)内.有x2 >x3 >x4由积分的性质可知

　　J x2dx >J x3dx >J x4dx SPI > 12 > I

　　8 .【答案】D

　　9 .【答案】C

　　【解析】平面的法向量即平面方程的系教{1，2，-3}.

　　10 .【答案】B

　　【解析】微分方程中导敏的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是

　　2阶导数，故本题阶数为2.

　　11 .【答案】2

　　【解析】lim则生=lim生=2.

　　xf0 X x f 0 x

　　12 .【答案】0

　　【解析】由于f(x)在x=0处连续，故有lim f (X) = lim5x = 0 = f (0) = a X f0- x f0-

　　13 .【答案】2e2xdx

　　【解析】dy = d(e22 ) = e22 • (2x)#39;dx = 2e2xdx

　　14 .【答案】2

　　【解析】f#39;(x) = 3x2 -12 = 3(x - 2)(x + 2),当x = 2或x = -2时,f

　　当x

　　因此x=2是极小值点。

　　15 .【答案】arcsin x + C

　　【解析】J万、 dx = arcsin x + C .

　　16.【答案】0 【解析】被积函数xtan2 x在对称区间[-1.1]上是奇函数，

　　故 J xtan2xdx = 0。

　　17.【答案】3x2dx + 2ydy

　　【解析】在=3x。，生=2y所以dz =生公^zdy = 3x2dx + 2ydy d.x dy dx dy

　　18.【答案】0 【解析】dZ = arcsiny,dz = 0.

　　dx dx 2

　　19.【答案】1

　　设 an = n .贝^有 p = lim n-^- = lim(1 + 工)=1 xT9 n xT9 n

　　故其收敛半径为R = - = 1. p

　　20 .【答案】x2 + C

　　【解析】微分方程y- 2x是可分离变量的微分方程，两边同时积分得

　　J y#39;dx = J 2 xdx o y = x2 + C.

　　21 .【答案】limSin^ = lim皿 + 2k = 1 + 2k = 2,故k =. x T0 x x T0 x 2

　　22 .[答案]y#39; = [sin(2x-1)j = cos(2x-1)• (2x-1)，= 2cos(2x-1).

　　23 .【答案】y#39; = (x)lnx + x(lnx)，= lnx +1，故y“=(lnx)，= L

　　x

　　11 i 1+1

　　24

　　.【答案】J (x3 + ex)dx = J x3dx + Jexdx = x 3 + ex + C

　　26.【答案】 (1)积分区域D可表示为：0 lt; y lt; 1,0 lt; x lt; 1 -y2,

　　S = J0(1 - y2d = (y-』y3) =#39;。

　　3 0 3

　　(2) V = £ny dx =n£(1 -x)dx =%

　　27.【答案】

　　特征方程r2 - 5r - 6 = 0,解得r, = -1或r2 = 6,

　　故微分方程的通解为y = C, er1x + C 2 er 2 x = C, e- x + C 2 e6 x (C,, C2为任意常数)

　　28.【答案】积分区域用极坐标可表示为：0 lt; O lt; — ,0 lt; r lt; 1,

　　4

　　0 16

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