2020年福建成考专升本高等数学(一)内部资料

　　【导读】福建成考网小编为大家带来2020年福建成考专升本高等数学(一)内部资料

　　2020年10月份成人高考入学考试

　　高等数学(一)通关资料

　　主讲人：张老师

　　•考点1极限的四则运算法则

　　1.利用极限的四则运算法则求极限

　　考点2：无穷小量和无穷大量定义及关系

　　1 .无穷小量概念：

　　如果当自变a f x(图-8)时，函数f(X )的极限值为零， 则称在该变化过程中，f(X)为无穷小量，简称无穷小，记作 limf(x)) = 0(或 limf(x)= 0)

　　Xf X 0 X-8

　　在微积分中，常用希腊字母aP，球表示无穷小量

　　2 .无穷大量概念

　　如果当自变a f X0(或X-8)时，函匆(x )的绝对值可以 变得充分大(即无限得增大)，则称在该变化过程中，f(X)为 无穷大量记作lim f (X) = 8

　　X f X 0

　　两者关系：

　　在同一变化过程中，如果/ (X)为无穷大量，则,为无穷小量 于(X)

　　反之，如形(X)为无穷小量，国(X)+0，则,为无穷大量

　　f ( X )

　　考点3：无穷小量性质及比较

　　1.无穷小量的性质.

　　(1)有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.

　　(2)无穷小量与有界之量的积仍为无穷小量.

　　2.无穷小量的比较.

　　设。和£是同一过程中的无穷小量，

　　即 lim以= 0， lim£ = 0

　　⑴ 如果lim °j=0，则称口是比£高阶的无穷小量.

　　⑵ 如果lim°二C中0，则称°是与£同阶的无穷小量.

　　⑶ 如果lim°=C=1,则称°是与°等价无穷小量，记作°等价于°

　　(4)如果lim° = *则称°是比例氐阶的无穷小量.

　　考点4：等价无穷小

　　1如果%、%、外£2都是同一变化过程中白妩穷小量，

　　且% ~ pi, a2~ £2

　　贝Ulima1-二 lim且

　　a p2

　　这个定理说明，两个无穷小量之比的极限，可以用与 它们等价的无穷小量之比的极限来代替以后我们可以 用这个方法来求两个无穷小量之比的极限，此方法可 叫做等价无穷小代替法

　　常用等价无穷小：

　　当* f 0时,x 〜sinx 〜ln (1 + x )〜arcsinx 〜arctanx 〜ex -1

　　〜tanx,1-cosx 〜gx2, (1 + x)“ -1〜ux (u为实常数，uw 0)

　　■考点5：两个重要极限

　　特殊极限一：lim欠二1

　　% T 0 x

　　特殊极限二：

　　/ 1-

　　lim(1 + 一)二 e

　　x s X

　　/ 1 -

　　lim(1 H——)二 e

　　n fs n

　　1

　　lim(1 + x)x = e

　　x —f 0

　　考点1:函数在某一点的连续

　　定义1：设函数丫 = f(x)在点X0的某个邻域内有定义，如果有

　　自变量Ax (初值为x0)趋近于0时，相应的函数改变量Ay也趋

　　近于0,即 lim[f(x0 + Ax)-f(x0)] = 0 Axf0 0 0

　　则称函数丫 = f(x)在点x0处连续.

　　定义2：设函数丫 = f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当

　　x f x0时，函如(x)的极限值存在，且等于x。处的函数值f(x0)

　　即lim f(x)= f(x0)，则称函数丫 = f(x)在点x0处连续.

　　x-x 0

　　定义3：设函数丫 = f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当

　　x f x0时，函如(x)的左右极限存在且等于函数值/(x0)，即

　　lim f(x)= lim f(x)= f(x0)，则称函数丫 = f(x)在点x0处连续

　　x-x 0- x-x 0+

　　考点2：函数间断点

　　定义：如果函数f(X)在点X0处不连续，则称点X0为f(x)的 一个间断点由函数在某点连续的定义可知，如果函数f(X) 在点X0处有下列三种情况之一，贝1」点X0是f(X)的一个间断点： ⑴在点X。处，f(X)没有定义。

　　⑵在点X。处，f(X)的极限不存在。

　　(3)虽然点X。处f(X)有定义，且lim f(X)存在，但 x — x0

　　lim f( x)0 f( x0)

　　X f X 0

　　三、导数

　　(一)导数定义

　　设函数y = f(x)在点X0的某一邻域内有定义，若自变量 X在点X0处的改变量为Ax (X0 +AX仍在该领域内).函数y = f(x)相应地有改变量Ay = f(X0 +Ax)-f(X0).如果极限 lim Ay 二 lim f( x 0+•)- f( x O)

　　Af0 Ax Af0 Ax

　　存在，则此极限值为函数y = f(x)在点x0处的导数.

　　三、导数

　　(二)基本初等函数的导数公式

　　1 .( c )#39; = 0

　　2 .( xa) = a x “1

　　3 .( log ax )#39; = ---( a > 0,且 a + 1) x Ina

　　4 .( Inx)#39;=-

　　x

　　5 .( ax)#39; = axlna

　　6 .( ex)′ = ex

　　7 .( sinx )#39; = cos x

　　(cos x)#39; = 一sinx

　　8 .( tanx)#39; = sec 2x

　　(cotx)#39; = 一csc 2x

　　三、导数

　　(二)基本初等函数的导数公式

　　三、导数

　　(三)导数的四则运算公式

　　L(u 土 V)#39;= u‘ 土 v#39;

　　2 .(u.v)‘= u’.v + u.v#39;

　　3 .(cu )′= cu(c为常数)

　　4/U、#39; u.v-u.v#39;/ 八、

　　4 .( 一 ) = 2——(V 0 0)

　　V V2

　　三、导数

　　(四)复合函数求导

　　如果函数u = a (x)在点x处可导，函数y = f (u)在对应点 u处也可导，则复合函耙=f [a (x)]在点x处可导，且有 dy dy du

　　—二—.— dx du dx ‘ #39; #39;

　　y x — y u .u x

　　{f [a (x)]} — f( u) u#39;(x)

　　解题思路：

　　(1)找出复合框架，y — f(u),u — f(x)

　　y — f (u),u — f (v 讣—f (x)

　　(2)分别求导相乘

　　三、导数

　　(五)参数方程表示的函数求导法则

　　一般的，如果参数方程

　　[x=u (t)t为参数)

　　[y = v (t)

　　确定了丫为乂的函数，在计算此类由参数方程

　　所确定的导数时，不需要先消去参知后再进行求导

　　dy

　　dy 出 dy dt u(t) y#39;t

　　=——= . =—: =——

　　dx dx dt dx v(t)xt

　　dt

　　三、导数

　　(六)隐函数的求导

　　解析法表示函数通常有两种：

　　⑴.y = f (x)来表示的，称之为显函数。

　　女口y = sinwx, y = exln (x + J1 + x2)

　　(2).x与y之间的函数关系是由一个方程F (x, y) = 0来确定 这种称之为隐函数，

　　如2x + y3 -1 = 0， xy-ex + ey = 0

　　对于隐函数的求导通常做法：

　　可直接在方程F(x，y)= 0的两端同时对x求导，而把y 视为中间变量，利用复合函数求导法即可。

　　(特殊情况：对数求导法时，先两边同时取对数，再求解)

　　(七)对数函数求导法

　　利用对数函数的运算性质可以将原来的函数两边同时取对数后化简 然后利用隐函数求导法或复合求导法求导，因此称为对数求导法 通常解决函数类型为：

　　y 二 u(x)丫。)

　　步骤为：

　　(1)两边同时取对数得

　　ln y = vx.ln u (x)

　　(2)两边同时对x求导得到

　　1 #39; #39; vx.u ^( x)

　　—.y = v (x).ln u(x) H

　　y u (x)

　　三、导数

　　(八)高阶求导

　　如果函数y = f (x)的导数y#39; = f(x)仍是x的可导函数， 那么就称f(x)的导数为f (x)的二阶导数，相应地f(x) 称为函数y = f (x)的一阶导数.二阶导数记为 y#39;，f( x)亭或男 dx dx

　　y” = (y#39;)’ f(x) = “#39;(x)]#39;或2=*( dy)

　　2 2 2 L 2 」 2 2 7 7

　　dx dx dx

　　四、微分

　　(一)微分公式和微分法则

　　微分公式：

　　(1)d ( c ) = 0( c 为常数)(2) d( x“) = axa -1 dx

　　(3) d (ax)= ax In adx (a > 0,且 a + 1)

　　(4)d (ex)= exdx .(5)d log a x = dx (a > 0,且 a = 1)

　　x In a

　　(6)d (In x)=」dx .(7)d (sin x)二 cos xdx

　　x

　　(8)d (cos x)二一 sin xdx

　　函数的和、差、积、商 微分运算公式

　　设u = u (x), V = V (x)可微分，则

　　d (cu )= cdu (c 为常数); d (u ± v )= du ± dv

　　u、 vdu 一 udv /

　　d (uv )= vdu + udv ; d (一)二 2 (V 0 0)

　　V V

　　五、导数应用

　　(一)洛必达求导

　　x f 8 )时,函数f (x )与 F (x) 都趋于零或都趋于无穷大，则称lim心

　　x fU F (X) (x f8 )

　　为未定型极限，并分别简记为“0”或“8”.

　　0 8

　　洛必达法则是求未定型极限的一种有效方法。 其它类型未定式：0.8; 8 - 8也可以变形

　　五、导数应用

　　(二)曲线的切线方程与法线方程

　　若函数y = f(x)在点x0处可导，由导数的几何意义，知/(x0) 表示过曲线上点M(x0, f(x0))的切线斜率，所以，过曲线上点 M(x0，f (x0))的切线方程为：

　　五、导数应用

　　(三)函数单调性判断

　　设函数f (x)在区间(a, b)内可导.

　　1 .如果在区间(a, b)内f#39;(x) > 0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递增的;

　　2 .如果在区间(a, b)内f (x) lt; 0,则函数f (x)在区间(a, b)内是递减的。 注：f(x)在个别点处f#39;(x) = 0不影响f(x)的单调性.

　　1 .极值的第一充分条件

　　设f ( X )在X 0的某领域内可导.

　　(1)若X lt; X0时，f (X )> 0, X > X 0, f ( X) lt; 0时则称X 0为极大值点，f ( X0)为极大值 ⑵ 若X lt; X0时，f (X) lt; 0, X > X0，f (X)> 0时则称X0为极小值点，f (X0)为极小值 (3)如果f (X)在X。两侧的符号相同，那么X0不是极值点。

　　2 .极值的第二充分条件

　　设函数^二f (X)在X。处存在二阶导数，且f (X)=0,贝

　　(1)若f“(X0) lt; 0, f (X。)为极大值，X。为极大值点;

　　⑵ 若f“(X0) > 0, f (X0)为极小值，X0为极小值点;

　　(3)若f“(X0)=0,此方法不能判定X0是否为极值点，而改用

　　极值第一充分条件来判定。

　　极值存在的必要条件：

　　设函数f ( X )在X 0可导，且在点Z处取得极值，则必有 f (X0)=0,称满足f1(X0)=0的点为函数f (X)的驻点， 由此可知，可导函数的极值点必为驻点。

　　五、导数的应用

　　(五)曲线的凹凸性及拐点

　　曲线凹凸性的判别法：

　　设函数y = f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数, 那么

　　(1)若在(a, b )内，f(x)> 0,则fKf(x)在[a, b]上的图形是凹的

　　⑵ 若在(a, b)内，f (x) lt; 0,则/则f(x)在[a, b]上的图形是凸的 曲线的拐点：

　　在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。

　　五、导数的应用

　　(六)曲线的水平渐近线与铅直渐近线

　　定义：

　　若 lim f (x) = A或 lim f (x) = A或lim f (x) = A,则 x f+8 x f - 8 x f6

　　称直线y二A是曲线y=f(x)的水平渐近线.

　　若 lim f (x)= 8或 lim f (x)= 8或 lim f (x)= 8,则U x f a — x f a + x f a

　　称直线X二2是曲线y=f (x)的铅直渐近线.

　　六、不定积分

　　(一)原函数

　　区间上f(X)的原函数的全体，称为f(x)在I上的不定积分 记为 J f (x )dx.

　　如果F (x)为f (x)的一个原函数，则有

　　J f (x)dx=F(x)+ C，其中C为任意常数.

　　六、不定积分

　　(二)不定积分

　　区间上f(X)的原函数的全体，称为f(x)在I上的不定积分 记为 J f (x )dx.

　　如果F (x)为f (x)的一个原函数，则有

　　J f (x)dx=F(x)+ C，其中C为任意常数.

　　(2)J dF (x) = F (x) + C, J F#39;(x) dx = F (x) (3)J kf (x) dx = k J f (x) dx (k 为常数) (4)J [f (x) 土 g(x)^x = J f (x)dx 土 J g(x)dx

　　(四)基本积分公式

　　(6) J cos xdx = sin x + C

　　六、不定积分

　　(四)基本积分公式

　　1

　　(7) dx = arctan x + C

　　1 + x2

　　六、不定积分

　　(五)求不定积分的两种常用方法:

　　一、换元积分法(凑微分法)

　　设f(u)有原函数F(u)，且u = V(x),则F[v(x)]是f[v(x)]v#39;(x)

　　的原函数，即有：

　　J f [ v (x )]v( x) dx = F [ v (x)] + C

　　二、分部积分法

　　设u、v都是x的可微函数，则有

　　J udv = uv -J vdu

　　七、定积分

　　(一)定积分的定义

　　[f(x)dx a

　　称f ( x )在区间[a, b ]上可积.

　　其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x 称为积分变量/a, b ]称为积分区间，a称为积分下限， b称为积分上限.

　　(1)定积分若存在，它只是一个确定的常数，它只与 被积函如(X)及积分区阿a,〃有关，而与积分变量的 符号无关，即应有「〃工业=『/(t)dt.

　　a a

　　⑵ 定积分//(工心中，上下限的大小没有限制，但若颠倒 a

　　积分上下限，必须改变定积分的符号，即 b a

　　J f ( x 炫=- J f ( x )dx

　　特别地有

　　a

　　J f (x ydx = 0

　　a

　　b b

　　I kf (x)dx = k I f(x)dx a a

　　2.两函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和 即有

　　b b b

　　I [ f (x) ± g(x)]dx = I f (x)dx 土 I g(x)dx a a a

　　b c b

　　I f (x) dx = I f ( x) dx + I f (x) dx a a c

　　b b

　　I f (x) dx lt; I g ( x) dx a a

　　七、定积分

　　(四)牛顿一一莱布尼茨公式

　　如果F (x)是连续函数(x )在区间[a, b ]上

　　任意一个原函数则有

　　2 b

　　f f (x) dx = F (x) = F (b) - F (a)

　　(五)定积分的几何意义

　　(1)当f (x) > 0时，定积分「f(X)dx表示由连续曲线

　　a

　　y = f (x),直线x = a,x = b(a lt; b)和x轴所围成的

　　b

　　曲边梯形a/5b的面积S,即S = \ f (x)dx

　　a

　　⑵当f (x) lt; 0时，曲边梯形a/5b的面积S如图2.

　　即 S = - \ f (x) dx

　　a

　　「A /CNO

　　1 J 匕 f= V

　　I -A 八大)lt; o

　　A 田 A：Xy = f (X) 芳 田 g 2 32^拜 开多 曲 为工

　　y y = f(x)>o

　　_ _ / -

　　°l

　　y=f (x)

　　(1)由y=f(x), x=a, x=b (a lt; b )及x轴所围成的封闭平面图形的面积S :

　　s 二 J |f( x)dx

　　(2)由y = f1 (x), y = f2(x), x = a,x = b(a lt; b)所围成的封闭平面图形的面积S

　　S 二 口力(x)- f (x) dx

　　⑶ 由x二队y),y=c,y = d(c lt; d)及y轴所围成的封闭平面图形的面积S :

　　S =[忸(y) Idy

　　(4)由x = g(y),x = S2(y),y = c,y = d(c lt; d)所围成的封闭平面图形的面积S :

　　S = [l%( y)-*( y) Idy

　　(5)由y=fl(x), y=f2(x)所围成的封闭平面图形的面积S :

　　先求两条曲线的交点，只需求解方程组」y=f (x),得出交点中x的最小值

　　[y = f(x)

　　记为a,及交点中x的最大值，记为b，则

　　S 二「|人(x) - fl(x)1dx

　　(1)曲线段y = f (x), a lt; x lt; b绕Ox轴旋转所得旋转体体积Vx :

　　Vx =兀『f2(x ) dx a

　　(2)曲边梯形y = f (x), x = a,x = b(a lt; b)及Ox轴所围成的图形

　　绕Ox轴旋转所得旋转体体积Vx :

　　Vx =兀『f2(x ) dx a

　　(3)曲线段x = 3(y)，c lt; x lt; d(c lt; d)绕Oy轴旋转所得旋转体体积Vy

　　Vy =13X y )dy

　　(4)曲边梯形x = 3(y)，y = c,y = d(c lt; d)及Oy轴所围成的图形

　　绕Oy轴旋转所得旋转体体积Vy :

　　Vy = »J： 3( y )dy

　　(5)由y = f1 (x), y = f2(x), x = a,x = b(a lt; b)所围成的封闭图形 绕Ox轴旋转所得旋转体体积Vx :

　　Vx =万『f22(x) - fl2(x)dx aa

　　(6)由x = 31(y), x = S2(y)，y = c,y = d(C lt; d)所围成的图形

　　绕Oy轴旋转所得旋转体体积Vy :

　　Vy = 〃f |必2( y)- 312( y) |dy

　　八、多元函数

　　(一)多元函数定义

　　定义：设D为X0平面上的一个区域，如果对于D上的每一点 P(x/),变量Z依照某一规律/有唯一确定的数值与之对应， 则称Z为x/的函数，记作z = f(x,y)

　　类似的可以定义三元函数，记作u = f(x,y,z)

　　二元及二元以上的函数统称多元函数.

　　八、多元函数

　　(二)偏导数

　　偏导数的求法：

　　求二元函数z = f(x,y)对x和y的偏导数，并不需要新的 方法，当求f(x,y)对x的偏导数时，只要将二元函数中的 y看成是常数，而对x求导数就行了.

　　同理，求f(x,y)对y的偏导数时，只要将二元函数中的

　　x看成是常数，而对y求导数就行了.

　　如果要求f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，只需在偏导 函数中将x = x0，y =夕0带入即可。

　　2(fz) = ^z = z * = f 4 x, y) d x d x d x

　　d d z ) d2 z

　　dy d x d x dy

　　d d z d2 z _

　　d x dy dy d x d d z d2 z _

　　6y dy 6y2 工

　　八、多元函数

　　(四)二元函数极值

　　解题思路：设函数z = f (x,y)在点(x0,y。)的某邻域内 连续，有一阶和二阶连续偏导数，且

　　fx (x o, y o) = 0, fy (x o, y o) = 0

　　又设

　　f -x(x o, y o) = A, f -y(x o, y o) = B, f #39;y( (x o, y o) = C

　　则 ⑴ 当B2 -AC lt; 0时，函数f (x,y)在点(x0,y0)处取得 极值，且当A lt; 0时时有极大值，当A > 0时有极小值.

　　⑵B 2-AC > 0时，函数f ( x, y )在点(x 0, y 0)处无极值.

　　(3)B2-AC = 0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处极值不能确定

　　八、多元函数

　　(五)全微分

　　全微分dzbdx + f dy

　　d.x dy

　　一元函数y = f (x)在点x处可导与可微是等价的。

　　二元函数z = f (x, y )可微与偏导数存在的关系是：

　　函数z = f(x, y)在点(x, y)处可微的必要条件是偏导数 f生存在。可微的充分条件是f生存在且连续。 dx dy dx dy

　　类似地，若三元函数u = f (x,y, z)可微，贝U

　　,_f,if,if, du — dx + dy + dz

　　dx dy dz

　　九、常微分方程

　　(二)二阶线性微分方程

　　y“ + py#39; + qy = 0的通解形式

　　特征方程r2 + pr + q = 0的根r1,r2

　　(1)A = p2 -4q > 0,两个不等的实根 r1,r2, y 二 C1 erx + C2er2x

　　(2)A = p2 -4q = 0,两个相等的实根r1,r2, y = (C1 + C2x)er1 x

　　(3)A = p2 - 4q lt; 0, 一对共轭复根 r1, r2 二 a ± 伊,y = eax (C1 cos 0x + C2 sin 0x)

　　若y=Ciyi + C2y2为对应的齐次方程的通解，y*为非齐次方程的特解

　　则Ci yi + C 2 y 2 + y *为非齐次方程的通解

　　(一)定义：设有数列{un｝(n = 1,2,…),称表达式u 1 + u2 +...

　　s

　　Un + ... = £ Un为无穷级数，简称级数,而称U 1为首项， n=1

　　Un为级数的一般项。

　　(二)收敛与发散

　　s

　　如果数列{Sn棺极限，即lim Sn = S,则称级数V Un收敛.

　　n—s

　　n=1

　　s

　　极限值S称为级数的和，或者说级数V Un收敛收敛于S， n=1

　　s

　　记为V Un = S.反之，若极限lim Sn不存在，则称级数发散 ^― n — s

　　n=1

　　若级数£ Un收敛，则lim Un = 0，由此可知: n fg

　　n=1

　　g

　　若级数£ Un = 0,级数的收敛性不能判断

　　n=1

　　上1

　　级数£ 士收敛。

　　n=1 n

　　(五)判定方法

　　1比较判别法

　　8 8

　　若£ Un与£ v〃皆为正项级数，且0 lt; Un lt; V(n = 1,2,…n).则

　　n=1 n=1

　　8 8

　　(1)若£ vn收敛时,£un必收敛。

　　n=1 n=1

　　8 8

　　(2)若£un发散时，£vn必发散。 n=1 n=1

　　2.比值判别法(达朗贝尔判别法)

　　8

　　£ un为正项级数

　　n=1

　　f p lt; 1时收敛

　　如果lim Un±L = p，贝ljlt; p > 1时发散

　　n T8 u

　　n [ p = 1时不定

　　如果Un常有因子n,用这种方法判别正项级数的收敛性

　　比较方便

　　8

　　幂级数£氏/收敛半径的求法 n=0

　　⑴对于不缺项的幂级数£ anx〃,设lim a±L = p,则 n-8 a

　　n=0 an

　　f 1八,八

　　—,0 lt; P lt; +8

　　收敛半径R = lt; 0, p = +8

　　+ 8, p = 0

　　-^,0 lt; p lt; +g pP

　　+ g, p = 0

　　0, p = +g

　　十、向量代数与空间解析几何

　　(一)空间直线方程

　　直线的标准方程：

　　过点M(x0,y0,z0)且平行于向量s = {m,n,p}的直线方程

　　x一几二 y - y0 二 z—zo

　　m n p

　　称为直线的标准式方程(又称点向式方程，对称式方程) 常数s = {m, n, p}为所给直线的方向向量。

　　十、向量代数与空间解析几何

　　(二)曲面方程

　　(1)球面：(X - x0)2 +(y - y0)2 +(z 一 z0)2 = R2

　　2 2 2

　　⑵椭球面：\ +=+ - = 1

　　a b c

　　⑶圆柱面：x2 + yy = RR

　　2 2

　　(4)椭圆柱面：0+ 4 = 1

　　a / b /

　　2 2

　　⑸双曲柱面：1 一 4 二 一1 a b

　　(6)抛物柱面：x2 - 2py = 0(p > 0)

　　⑺旋转抛物面：z = X 2 + y 2

　　(8)圆锥面：x2 + y2 - z2 = 0

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